التكامل المحدد
ذكرنا سابقاً تكامل د/ (س) بالنسبة إلى س هود الدالة د(س) + ث وهو ناتج غير معين لعدم تحديد قيمة الثابت ث وهو ما دعانا للقول بأنه تكامل غير محدد ، فإذا أعطينا قيمتين للمتغير س مثل أ ، ب ، أ < ب فعندما س = أ فإن الناتج هو د(أ) + ث ، وعندما س = ب فإن الناتج هو د(ب) + ث فإذا حسبنا الفرق بين قيمتي التكامل حصلنا على (د(ب) + ث) – (د(أ) + ث) = د(ب) – د(أ) وهي قيمة لا تعتمد على الثابت ث أي قيمة معينة.
ويرمز لهذا التكامل المحدد بالصورة :
ب
∫ د/ (س) د س = د(ب) – د(أ) ، نقرأ ذلك بتكامل د/ (س) بالنسبة إلى س من أ إلى ب
أ
حيث تعرف أ بالحد السفلي للتكامل المحدد ، ب بالحد الأعلى للتكامل المحدد ويمكن وضع ذلك بالصورة
ب ب
∫ د/ (س) د س = [ د(س) ] = د(ب) – د(أ) ، حيث ث حذف في عملية الطرح
أ أ
من الواضح هنا أن عملية التكامل المحدد هي إجراء للتكامل غير المحدد كما سبق ثم إجراء التعويض بحدي التكامل أ ، ب ونوضح ذلك بالأمثلة الآتية:
3
مثال(1) : أوجد ∫ 3س2 د س
1
3 3
الحـــــــل : أوجد ∫ 3س2 د س = [ س3 ] = (3)3– (1)3 = 27 – 1 = 26
1 1
ط
2
مثال(2) : أوجد ∫ ( 2حتا2س + 4 ) د س لاحظ ط هي p النسبة التقريبية
0
ط ط
2 2
الحـــــل : I = [حا2س + 4س] ، حيث I رمز لقيمة التكامل المحدد من Integration أي I = ـ∫ (2حتا2س + 4 ) د س
0 0
ط ط
= ( حا2 × ـــــ + 4 × ـــــ ) – ( حا2 × 0 + 4 × 0 )
2 2
= ( حا ط + 2 ط ) – ( حا 0 + 0 )
= صفر + 2 ط – 0
= 2 ط
بعض خواص التكامل المحدد
(1) تغير حدي التكامل كلاً مكان الآخر يغير إشارة التكامل
ب أ
∫ د(س) د س = – ∫ د(س) د س وهي من د(ب) – د(أ) = – [د(أ) – د(ب)]
أ ب
(2) تقسيم التكامل المحدود عند نقطة حـ تنتمي لفترة حدي التكامل
ب حـ ب
∫ د(س) د س = ∫ د(س) د س + ∫ د(س) د س
أ أ حـ
لاحظ الطرف الأيسر = د(حـ) – د(أ) + د(ب) – د(حـ) = د(ب) – د(أ) وهو ناتج الطرف الأيمن
(3) إذا كانت أ = ب فإن ناتج التكامل = صفر مثال على ذلك
أ
∫ د(س) د س = صفر لأن د(أ) – د(أ) = صفر
أ
مثال :
2 س
إذا كان ق(ص) متصلاً وكان ∫ ق(ص) د ص = 2 س2 – ك س – 9 فما قيمة ك ؟
6
الحل :
عندما 2 س = 6 أي س = 3 فإن قيمة التكامل = صفر حسب الخاصية (3) بتساوي حدي التكامل وعليه يكون
صفر = 2 × 9 – ك × 3 – 9
صفر = 18 –3 ك – 9
3 ك = 9
ك = 3
تمارين 1 ـ 11 تمارين 12 ـ 20 تمارين 21 ـ 28 تمارين 29 ـ 36 تمارين 37 ـ 44