أوجد 30∫ هـ^3س حا³س  د س  

نضع ف = حا³ س     فإن:  د ف = 3 حا²س × حتاس د س

ونضع د ق = 30هـ^3س د س      فإن:  ق = 10هـ^3س

30∫ هـ^3س حا³س  د س= ∫ ف د ق

                                = ف × ق – ∫ ق د ف

                                = حا³س × 10هـ^3س – ∫10هـ^3س  × 3حا²س × حتاس د س

                                = 10هـ^3س  حا³س – ∫ 30هـ^3س حا²س حتاس د س     ← (1)

والتكامل في الطرف الأيسر

نضع ف = حا²س حتاس ومنها د ف = [حا²س × – حاس + حتاس × 2حاس × حتاس] د س     " تفاضل حاصل ضرب دالتين"

                                              = [– حا³س +2حاس حتا²س)] د س

                                              = [– حا³س +2حاس ( 1 – حا²س)] د س     " حيث أن حتا²س =  1 – حا²س"

                                              = [– حا³س +2حاس – 2حا³س] د س           " بجمع الحدود المتشابهة"

                                              = [–3حا³س +2حاس ] د س  

ونضع د ق = 30هـ^3س د س  فإن:  ق = 10هـ^3س

∫ 30هـ^3س حا²س حتاس د س = ∫ ف د ق 

                                        = ف × ق – ∫ ق د ف

                                        = حا²س حتاس × 10هـ^3س – ∫10هـ^3س (–3حا³س +2حاس) د س     ← (2)

 بالتعويض من (2) في (1)

30∫ هـ^3س حا³س د س = 10هـ^3س  حا³س –  حا²س حتاس × 10هـ^3س + ∫10هـ^3س (–3حا³س +2حاس) د س 

                               = 10هـ^3س حا³س –10هـ^3س حا²س حتاس – ∫30هـ^3س حا³س + ∫20هـ^3س حاس د س  " بنقل للطرف الأيمن"

60∫ هـ^3س حا³س د س = 10هـ^3س  حا²س(حاس – حتاس) + ∫20هـ^3س حاس د س   ← (3) 

نعلم أن :

                                             ب حا(حـ س) – حـ حتا( حـ)س               

∫هـ^{ب س} حا(حـ س) د س =هـ^{ب س} × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث    بوضع ب = 3، حـ = 1   قانون سابق هنــــــــــــا

                                                     ب² + حـ²

أي أن :

                                                3حاس – حتاس               

∫20هـ^3س حا س د س =20هـ^3س × ـــــــــــــــــــــــــــــ + ث  = هـ^3س ( 6جاس –2حتاس ) + ث

                                                      9 + 1

بالتعويض في (3) : 

60∫ هـ^3س حا³س د س = 10هـ^3س  حا²س(حاس – حتاس) + هـ^3س ( 6جاس –2حتاس ) + ث    بالقسمة على 2 ، ع. م. أ

∫30هـ^3س حا³س  د س = هـ^3س (5حا³س – 5حا²س حتاس + 3جاس – حتاس ) + ث