أوجد 30∫ هـ^3س حتا³س  د س  

نضع ف = حتا³ س     فإن:  د ف = 3 حتا²س × – حاس د س

ونضع د ق = 30هـ^3س د س      فإن:  ق = 10هـ^3س

30∫ هـ^3س حتا³س  د س= ∫ ف د ق

                                = ف × ق – ∫ ق د ف

                                = حتا³س × 30هـ^3س – ∫10هـ^3س  × 3حتا³س × – حاس د س

                                = 30هـ^3س  حتا³س + ∫ 30هـ^3س حتا²س حاس د س     ← (1)

والتكامل في الطرف الأيسر

نضع ف = حتا²س حاس ومنها د ف = [حتا²س حتاس + حاس × 2حتاس ×(– حاس)] د س     " تفاضل حاصل ضرب دالتين"

                                              = [حتا³س – 2حتاس حا²س)] د س

                                              = [حتا³س – 2حتاس ( 1 – حتا²س)] د س     " حيث أن حا²س =  1 – حتا²س"

                                              = [حتا³س – 2حتاس + 2حتا³س] د س           " بجمع الحدود المتشابهة"

                                              = [3حتا³س – 2حتاس ] د س

ونضع د ق = 30هـ^3س د س  فإن:  ق = 10هـ^3س

∫ 30هـ^3س حتا²س حاس د س = ∫ ف د ق 

                                        = ف × ق – ∫ ق د ف

                                        = حتا²س حاس ×  10هـ^3س – ∫10هـ^3س (3حتا³س – 2حتاس) د س     ← (2)

 بالتعويض من (2) في (1)

30∫ هـ^3س حتا³س  د س = 30هـ^3س  حتا³س +  10هـ^3س حتا²س حاس – ∫10هـ^3س (3حتا³س – 2حتاس) د س 

30∫ هـ^3س حتا³س  د س = 30هـ^3س  حتا³س +  10هـ^3س حتا²س حاس  – ∫30هـ^3س حتا³س + ∫20هـ^3س حتاس د س

60∫ هـ^3س حتا³س  د س = 10هـ^3س  حتا²س(3حتاس + حاس) + ∫20هـ^3س حتاس د س   ← (3)   " من نقل حد للطرف الأيمن"

نعلم أن :

                                                 ب حتاس + حـ حاس               

∫هـ^{ب س} حتاحـ س د س =هـ^{ب س} × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث    بوضع ب = 3، حـ = 1   قانون سابق هنــــــــــــا

                                                     ب² + حـ²

أي أن :

                                                3حتاس + حاس               

∫20هـ^3س حتا س د س =هـ^3س × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ث  = هـ^3س ( 6جتاس + 2حاس ) + ث

                                                      10

بالتعويض في (3) : 

60∫ هـ^3س حتا³س  د س = 10هـ^3س  حتا²س(3حتاس + حاس) + هـ^3س ( 6جتاس + 2حاس ) + ث    بالقسمة على 2 ، ع. م. أ

∫30هـ^3س حتا³س  د س = هـ^3س (15حتا³س + 5حتا²س حاس+ 3جتاس + حاس ) + ث