_{∫ حا}^م_{س حتا}^ن_{س د س}

الحالة الثالثة : كل من م ، ن عدد زوجي موجب

نضع حا²س = 0.5 – 0.5 حتا2س   ويمكن التصرف هنا بجعل 2حا²س = 1 – حتا2س  وكذلك التصرف في المسألة

نضع حتا²س = 0.5 + 0.5 حتا2س   ويمكن التصرف هنا بجعل 2حا²س = 1 + حتا2س  وكذلك التصرف في المسألة

سيؤول التكامل لصورة بسيطة أو إلى ما سبق ذكر ويتبين ذلك من المثال التالي:

مثال: احسب ∫ حا²س حتا⁴س د س

الحل: ماذا لو ضربنا × 8 وبالطبع سنقسم على 8 والهدف الابتعاد عن الكسور أي:

                                  1 

∫ حا²س حتا⁴س د س = ــــ ∫ 8 حا²س حتا⁴س د س           اختيار العدد 8 من 2 الأس 2 ، 4 من الأس 4(من التربيع)

                                 8

                                 1 

                             = ــــ ∫ 2 حا²س × 2حتا²س × 2حتا²س  د س          

                                 8

                                 1 

                             = ــــ ∫ (1 – حتا2س)×(1 + حتا2س)  × (1 + حتا2س)  د س           بفك الأقواس

                                 8

                                 1 

                             = ــــ ∫ (1 + حتا2س – حتا²(2س) – حتا³(2س))  د س       

                                 8

                                 1                           1

                             = ــــ ∫ (1 + حتا2س – ــــ (1 + حتا4س) – حتا³(2س))  د س       

                                 8                          2 

                                 1       1                   1

                             = ــــ ∫ ( ــــ + حتا2س – ــــ حتا4س – حتا³(2س))  د س        بالضرب ×64

                                 8       2                   2

64 ∫ حا²س حتا⁴س د س = ∫ ( 4 + 8 حتا2س –4حتا4س – 8 حتا³(2س))  د س

                                   = 4 س + 4حا2س – حا4س – 8∫ حتا³(2س) د س  (1)   التكامل هنا كما ورد في الحالة الثانية

نضع حا2س = ع ومنها 2حتا2س = د ع

8∫ حتا³(2س) د س = ∫4حتا²(2س) × 2حتا2س  د س

                           = ∫ 4(1 – حا²(2س)) × 2حتا2س  د س

                           = ∫ 4(1 – ع²) × د ع

                           = 4ع – (4ع³ ÷ 3 ) + ث

                                              4

                           = 4حا2س –  ـــ حا³(2س) + ث      بالتعويض في (1)

                                              3

                                                                                            4

64 ∫ حا²س حتا⁴س د س = 4س + 4حا2س – حا4س – 4حا2س + ــــ حا³(2س) + ث    بالقسمة على 64  بعد حذف 2حا2س

                                                                                            3

                                        1           1                  1

     ∫ حا²س حتا⁴س د س = ــــــ س – ـــــــ حا4س +  ــــــــ حا³(2س) + ث  

                                      16         64                48