الحل مع ملاحظات وغيره

العمود الأيمن نموذج إدارة الامتحانات

المدون في هذا العمود  بواسطة محمد شكري الجماصي

قد يتواجد أخطاء فبالإمكان الإبلاغ عنها

Tel. 39910300

=======================

السؤال الأول:

i1) الحل يعتمد على العلاقة الآتية :

sin(A ̶ B) = sinAcosB  ̶  cosAsinB

sin(60^o+q)cosq  ̶  cos(60^o+q)sinq               :الحل

      = sin(60^o+q  ̶  q) = sin60^o =√3̅ /2

i2) مجال الدالة R عدا القيم التي تجعل المقام = صفر والمقام

     يحوي جذر تربيعي فيجب ما بداخل الجذر موجب أي :

2 + 6 > 0 → 2х >  ̶  6 → х >  ̶  3

( ̶  3 , ∞)  مجال الدالة

i3) بوضع f (х) = y ونستبدل х بـ y , y بـ х ثم نحسب y

хf (х) = 4 + 2х       (نص المسألة) х بالضرب في

х y = 4 + 2х       y بـ f (х) استبدال

y х = 4 + 2y            х بـ y , y بـ х  نستبدل

y × 4 = 4 + 2y        f ^-1(4) لإيجاد х = 4 بوضع

y = 2 ð f ^-1(4)=2

 i4) بااتعويض المباشر يكون:

i5) نشتق (ميل المماس هو المشتقة الأولى) ونعوض أي :

y^\ = 0  ̶  4х= ̶  4х ,х =  ̶ 1 ð y^\ =  ̶  4× ̶ 1 = 4

i6) منحنى الدالة│f (х)=│х أُزيح i8وحدات جهة اليمين أي:

      g(х) = │х  ̶  8│   قاعدة الدالة المطلوبة

السؤال الثاني:

i1) نستخدم العلاقة المثلثية :

cos(A + B) = cosA cosB - sinAsinB

105^o = 60^o + 45^o

cos(60^o + 45^o) = cos60^o cos45^o - sin60^osin45^o

i2) الزاوية q تقع في الربع الثاني تكون qsin ومقلوبها موجبة

     من sin²q + cos²q = 1 نوجد sinq الموجبة ومنها نوجد

     مقلوبها cscq أي :

sin²q + 9/25 = 1 → sin²q = 1  ̶  9/25 = 16/25

sinq = 4/5 → cscq = 5/4

بضرب حدود الكسر في i 5

السؤال الثالث:

i1) نأخذ الطرف الأيمن للوصول للطرف الأيسر أو العكس .

R.H.S = sec²q(2  ̶  sec²q)           العامل المشترك

= (1 + tan²q)(2  ̶  (1 + tan²q))    فك قوس

= (1 + tan²q)(2  ̶  1  ̶  tan²q)      جمع اعداد

= (1 + tan²q)(1  ̶  tan²q)   فرق بين مربعين

= 1  ̶  tan⁴q

= L.H.S

حلول أخرى

i2) نستخدم العلاقات الآتية :  cos2q = 1 − 2sin²q

     بالتعويض نحصل على المعادلة

 1 − 2sin²q  − sin²q + 2 = 0

3 − 3sin²q = 0

3(1 − sin²q) = 0

1 − sin²q = 0

sin²q = 1

sinq = 1   أو    sinq = −1

q = 90^o   أو    q = 270^o   

الحل العام :

q = 90^o + 180^ok  , k ϵ Z   

k = 0 : q = 90^o

k = 1 : q = 90^o + 180^o

             = 270^o

                 , ...

السؤال الرابع:

i1) التمثيل البياني للدالة i ¦(х) = (х - 2)²

g(х) =¦(│х│- 2)² والتمثيل البياني للدالة

ينشأ من السابق بانعكاس جزء المنحنى على يمين المحور y

في المحور y وليحل محل الجزء من المنحنى الواقع على يسار

   المحور y .

i2) أ) عند х = 1 الدالة منفصلة والانفصال نهائي

    ج) لخط التقارب الرأسي نساوي المقام بالصفر فنجد х = 1

     لخط التقارب الأفقي نوجد نهاية الدالة عندما ∞ - → х

     فنجد النهاية تساوي i -2أي أنَّ :

х = 1     خط التقارب الرأسي 

y = -2       خط التقارب الأفق

السؤال الخامس:

i1) نتبع الآتي :

i¦(-х)iونقارن الناتج معi¦(х) نوجد *

فالدالة زوجية ¦(-х) = ¦(х)i*

فالدالة فردية ¦(-х) = -¦(х)i*

i2) الدالة h قابلة للتحليل فيكون :

h(х) = 2(х² - 2х + 1) = 2(х - 1)²

g(х) = х - 1 , ¦(х) = 2х²

i3) لتكون كل من الدالتين g , ¦ عكسية للأخرى نثبت أنَّ :

[¦og](х) = [go¦](х) = х

 لاحظ : السؤال في الكتاب صفحة i108(تأكد)

لاحظ أيضاً في التمثيل البياني للدالتين تكون إحداهما هي الأخرى

بالانعكاس في المحور y = х كما يبينه الشكل الآتي :

للفائدة

لاحظ المجال هنا لقيم х ³ 10 فالفرعان جهة اليسار خارج الحل

لاحظ معادلات الخطوط العمودية على محور y = х هي:

h(х) = - (х - 10) , h₁(х) = - (х - 12)

h₄(х) = - (х - 14) , h₄(х) = - (х - 16)

السؤال السادس:

i1) تطبيق قانون متوسط معدل التغير

¦(х) = 3х² - 8х +2

¦(х₂)=¦(8)=3×64 - 8×8 + 2=192-64+2=130

¦(х₁)=¦(4)=3×16 - 8×4 + 2=48-32+2=18

¦(х₂) - ¦(х₁) = 130 - 18 = 112

х₂ - х₁ = 8 - 4 = 4

i2) أولاً : A)

     *  التعويض المباشر

     *  التحليل للتخلص من х + 2

     *  التبسيط

     *  التعويض عن х .

     ثانياً : B)

     *  التبسيط

     *  درجة البسط تساوي درجة المقام

     *  معاملي х⁴ في البسط والمقام هما i1 , 4

     *  النهاية ¼

حل أخر :

السؤال السابع:

i1) *  نكتب تعريف المشتقة الأولى

     *  التعويض  *  التبسيط   *  الجواب

i2) *  نوجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر .

     *  نوجد قيم المتغير [iх ϵ [0 , 3وعندها النقاط الحرجة .

     *  نعوض عن قيم х في الدالة الأصلية لحساب y .

     *  نكتب النقاط وهي عند بداية ونهاية الفترة , х = 1

     *  النقاط : (i(0,5) , (1,3) ,  (3,23.

وللتوضيح هذا التمثيل البياني يبين ذلك .

نظرية القيمة القصوى

     الدالة المتصلة على فترة مغلقة لها قيمة عظمى وصغرى على

الفترة وذلك إما عند أحد طرفي الفترة أوعند إحدى النقاط الحرجة

المنتمية للفترة .

i3) نشتق بقاعدة قسمة دالتين كما مبين جهة اليسار أو الآتي:

السؤال الثامن:

i1) التكامل الآتي (التجزيء النوني المنتظم) نفس طريقة ريمان

نستخدم قانون حساب المساحة بالتكامل (طريقة ريمان)

     أو التجزيء النوني المنتظم في ريض i317

التمثيل البياني الآتي للتوضيح

i2) المساحة تساوي تكامل الدالة على الفترة المعطاة