أجب عن جميع الاسئلة الآتية

ملاحظة : جميع الرسومات الواردة في الامتحان تقريبية

 i12درجة : درجتان لكل فقرة

( i1) الدالة الفردية الدرجة ما كان طرفي التمثيل

       البياني لها في اتجاهين مختلفين. أو

       عدد أصفار الدالة فردي وهذا متوفر في

       الشكل B

( i2) عدد الأصفار يعتمد على درجة الدالة.

       الدالة هنا من الدرجة الرابعة لأن أكبر

       أس للمتغير x هو i4ا( x ⁴).

       عدد أصفارها هو i4منها i2تخيليان.

للتوضيح فقط التمثيل البياني للدالة هو:

( i3) يكون x - h عاملاً لكثيرة الحدود (f (x

       إذا كان منحنى الدالة يقطع محور السينات

       عند h . وهذا تمثيل بياني للدالة

===================

( i4) معامل x ² يساوي معامل y ² فالقطع

       هو دائرة .

( i5) هامش خطأ المعاينة يساوي تقريباً

( i6) الجواب مجموع قيم الاحتمالات قبل i3 أي

  p(iالمطلوبi) = 0.05 + 0.1 + 0.2

= 0.35

السؤال الأول:

ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

( i1) أي من الدوال الممثلة بيانياً أدناه فردية الدرجة ؟

( i2) ما عدد الأصفار للدالة f (x) = x⁴ + 3x³ - 2x + 1 ?

4   D P                  3   C                    2   B                     1   A

 الحل:

 لا يتقاطع المنحنى مع محور السينات عند i1حتى يكون x - 1 عاملاً , لذا الإجابة الصحيحة هي C .

====  صفحة ( i2) ====

( i4) ما نوع القطع المخروطي الذي معادلته  x ² + y ²  ̶  12 = 8x  ̶  12y

قطع ناقص   D                   قطع زائد    C                    قطع مكافئ   B                     دائرة   A P

( i5) ما هامش خطأ المعاينة في دراسة مسحية شملت i1926شخصاَ , أفاد i53%منهم أن مادة الرياضيات

       هي مادتهم المفضلة ؟

± 0.02   D  P                 ± 0.53   C                    ± 0.14   B                ± 0.74   A

( i6) الجدول المجاور يبين التوزيع الاحتمالي لعدد الطلاب الغائبين في أحد الصفوف بمدرسة ما خلال شهر

       واحد , ما احتمال أن يكون عدد الطلاب الغائبين أقل من i3؟

 0.2   D                    0.3   C                         0.35   B P                0.65   A

 i18درجة : i1) ستة , i2) ستة

( i1) التوزيع الطبيعي مبين بالشكل (للتوضيح).

أو

   حل آخر:

 (p > 80) = 0.135 + 0.020 + 0.005

              = 0.16

  حيث أنَّ  i13.5% = 0.135

( i2) التمثيل البياني للقطع:

==  صفحة ( i3) ==

السؤال الثاني:

( i1) إذا كانت درجات اختبار في أحد المقررات موزعة توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي i75بانحراف معياريiيساوي i5

       , فما احتمال اختيار درجة عشوائياً تزيد على i80؟

  الحل:

    الشكل الآتي يبين التوزيع الطبيعي لوسط حسابي i75بانحراف معياري i5

    المطلوب = مجموع المساحات باللون الأصفر على يمين i80 أي التي تزيد عن i80

              = i13.5% + 2.0% + 0.5%

              = i16%

( i2) أوجد معادلة القطع الناقص الذي رأساه (i( 0 ,  6) , ( 0 ,  ̶  6وبؤرتاه (i( 0 , 4) , ( 0 ,  ̶  4,

       ثم مثله بيانياً .

الحل:

   رأساه (i( 0 ,  6) , ( 0 ,  ̶  6 فالمحور الأكبر طوله i6 + 6 = 12 ومن ذلك i2a = 12 أي a = 6 والمحور منطبق على محور الصادات

   بؤرتاه (i( 0 , 4) , ( 0 ,  ̶  4وبؤرتا القطع الناقص (i(0 , c) , (0 ,  ̶  cأي c = 4 ومركز القطع هو نقطة الأصل (i(0 , 0

b² = a²  ̶  c² = 36  ̶  16 = 20

   نقاط إضافية للتمثيل البياني : بوضع y = 0 نجد أن x² = 20 ومنها x ≈ ±4.5 أي (i(4.5 , 0) , ( ̶  4.5 , 0

  نوصل بين النقاط - الرأسين , (i(4.5 , 0) , ( ̶  4.5 , 0حيث مركز القطع نقطة الأصل فالتمثيل البياني هو ß ß ß

 i22درجة : i1) ثمانية , i2) أربعة , i3) عشرة

 ( i1) عدد أصفار دالة كثيرة الحدود يعتمد على

         درجة الدالة فالدالة التي درجتها n لها من

         الاصفار عددها n .   

 ( i2) تكون العينة المتحيزة إذا كانت الدراسة تفضل

       قسم من المجتمع على باقي الاقسام .

      وتكون العينة غير متحيزة إذا كانت الدراسة

      تتمَ باختيار العينة عشوائياً أو لم تعتمد على

      خاصية حال تحديدها سلفاً من المجتمع.

( i3) التمثيل البياني للدالة (للتوضيح)

  المنحنى يقطع محور السينات عند i1فإنَّ x  ̶  1

  عامل للدالة أي أنَّ i1 هو صفر للدالة

  لاحظ  g(1)=1³ ̶ 3×1²+4×1 ̶ 2=0

  وبقسمة الدالة على x  ̶  1 نجد أنَّ ناتج القسمة

  هو x²  ̶  2x + 2 وبحل المعادلة :

  x²  ̶  2x + 2 = 0

  نحصل على الصفران الآخران.

  أصفار الدالة هي : i 1 , 1 + і , 1  ̶  і

==  صفحة ( i4) ==

السؤال الثالث:

( i1) أجب عن الفروع a, b , c للدالة الممثلة بيانياً في الشكل المجاور :

   a) حدد عدد الاصفار الحقيقية لللدالة .

       المنحنى يقطع محور السينات في أربع نقاط فيكون: عدد الاصفار الحقيقية هو i4

   b) ما مجال الدالة ؟

      مجال الدالة هو: IR

   c) صف سلوك طرفي التمثيل البياني .

x →  ̶ ∞  عندما f (x)  → ∞

x →  ∞  عندما f (x)  → ∞

( i2) حدد نوع العينة التي تتبناها كل دراسة مما يأتي (متحيزة أو غير متحيزة) :

       *  استطلاع أراء نساء في سوق الذهب , لمعرفة إذا كن يفضلن الذهب أو لا .

       *  اختيار i200طالب عشوائياً من مدرسة , وسؤالهم عن الرياضة المفضلة لديهم .

 الحل:

    سؤال النساء فقط يجعل العينة متحيزة (تفضيل قسم من المجتمع على باقي الاقسام).

    الاختيار عشوائي للطلاب i200فالعينة غير متحيزة

( i3) أوجد جميع أصفار الدالة g(x) = x³  ̶  3x² + 4x  ̶  2

الحل:

   للدالة ثلاثة أصفار مركبة , وحسب قانون ديكارت للإشارات لا يوجد أي صفر حقيقي سالب ويوجد ثلاثة اصفار حقيقية موجبة أو صفر حقيقي

   موجب , والاصفار النسبية الممكنة للدالة هي 2± , 1±

   العدد i1صفر للدالة وعليه يكون:

 g(x) = x³  ̶  3x² + 4x  ̶  2 = (x²  ̶  2x + 2)(x  ̶  1) 

نحدد أصفار x²  ̶  2x + 2 = 0 باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثاني حيث: a = 1 , b =  ̶ 1 , c = 2

   أصفار الدالة هي : i 1 , 1 + і , 1  ̶  і

i16درجة : i1) ثمانية , i2) ثمانية

( i1) إذا كان العدد المركب صفرالدالة فإنَّ مرافقه

       صفراً للدالة أي i2 + i صفرا للدالة

i² =  ̶ 1

      إذا كانت a , b , c أصفار للدالة (f (x فإنَّ

f (x) = (x  ̶  a)(x  ̶  b)(x  ̶  c)

f (x) = (x  ̶  3)(x²  ̶  4x + 5)

        = x³ ̶ 4x²+5x  ̶  3x²+12x+15

      = x³  ̶  7x² + 17x  ̶  15

( i2) احتمال النجاح ( طالب يمتلك سيارة) هو

       S = 0.4 فيكون احتمال الفشلهو f  = 0.6

       وعدد الطلبة n = 6 وبفرض X عدد الطلاب

       الذين يمتلكون سيارة فالمطلوب هو(iP(X≥2

P(2)=₆C₂(0.4)²(0.6)⁴=15×0.16×0.13=0.31

P(3)=₆C₃(0.4)³(0.6)³=20×0.064×0.0216=.27

P(4) = 0.14 , P(5) = 0.04 , P(6) = 0.01

P(X≥2)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(5)

 =0.31+0.27+0.14+0.04+0.01

 =0.77  Or 77%

==  صفحة ( i5) ==

لسؤال الرابع:

( i1) أوجد دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن , ومعاملانها اعداد صحيحة , إذا كان العددان i3 , 2  ̶  i

       من اصفارها .

الحل:

    بفرض أن الدالة المطلوبة هي ( f (x

     حيث  i3 , 2  ̶  iصفراً للدالة فإنٍّ  i2 + i صفرا للدالة وتكون الدالة هي:

f (x) = (x  ̶  3)[x  ̶  (2 - i)][x  ̶  (2 + i)]

        = (x  ̶  3)(x  ̶  2 + i)(x  ̶  2  ̶  i)

        = (x  ̶  3)(x²  ̶  4x + 4 + 1)

        = (x  ̶  3)(x²  ̶  4x + 5)

        = x³  ̶  7x² + 17x  ̶  15

( i2) اعتماداً على دراسة مسحية , تبين أنّ َi40%من طلبة إحدى الجامعات يملكون سيارات . ما احتمال أن يملك

       طالبان على الأقل من بين i6طلبة تمَ اختيارهم عشوائياً من تلك الجامعة سيارة ؟

الحل:

    احتمال النجاح هو S = 0.4 واحتمال الفشل هو f  = 0.6 , وعدد الطلبة n = 6 عدد الطلاب الذين يمتلكون سيارة

P(X ≥ 2) = 1  ̶  [P(0) + P(1)]

              = 1  ̶  [₆C₀(0.4)⁰(0.6)⁶ + ₆C₁(0.4)¹(0.6)⁵] = 1  ̶  [1×1×0.047 + 6×0.4×0.078]

              = 1  ̶  [0.047 + 0.187] = 1  ̶  0.234 = 0.77        

P(X ≥ 2) = 77%

i14درجة : i1) ثمانية , i2) ثلاثة , i3) ثلاثة

( i1) حل آخر :

        بضرب المعادلة الأولى في i4والجمع

4x² + 4y² = 196  ..... (1)

  x²  ̶  4y² = 29  ..... (2)

5x² = 225  → x² = 45 = 9×5

x = ±3√5̅  ≈ ± 36.7  (1) بالتعويض في

45 + y² = 49

y² = 4

y = ±2

حل النظام هو:

   ( ̶  2 ,  ̶  3√5̅ ) , ( ̶  2 , 3√5̅ ) ,

   (2 ,  ̶  3√5̅ ) , (2 , 3√5̅ )

     التمثيل البياني للفائدة حيث تمثل المعادلة الأولى

     دائرة والمعادلة الثانية قطع زائد ونقاط تقاطعهما

     هو حل النظام كما تبينه النقاط الأربع في الشكل.

      حيث أنَّ :

√5̅ ≈ 6.7

      ويكون حل النظام هو :

 ( ̶  2 ,  ̶  6.7) , ( ̶  2 , 6.7) , (2 ,  ̶  6.7) ,

 (2 , 6.7)

( i2) المعادلة في a) لدائرة لتساوي معاملي كل من

        x² , y² وما ورد في d) هو لدائرة

         وباتالي ما ورد في b) مطابق لما في c)

( i3) المعادلة القياسية للقطع الزائد هي :

==  صفحة ( i6) ==

لسؤال الخامس

( i1) حل نظام المعادلات الآتي:

x² + y² = 49  ..... (1)

x²  ̶  4y² = 29  ..... (2)

الحل:

x² + y² = 49  ..... (1)

x²  ̶  4y²= 29  ..... (2)       بتغيير الإشارات والجمع

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

5y² = 20 → y² = 4

y = ±2        (i1 ) بالتعويض في

x² + 4 = 49  →  x² = 45 = 9×5 → x = ± 3√5̅

                 حل النظام هو:

( ̶  2 ,  ̶  3√5̅ ) , ( ̶  2 , 3√5̅ ) , (2 ,  ̶  3√5̅ ) , (2 , 3√5̅ )

هذا التمثيل البياني فقط للفائدة ولكن قد يقبل حلاً للمسألة (الرسم بالحاسوب أو الآلة الحاسبة)

( i2) قارن بين كل معادلة مما يأتي a , b , والحالة التي تمثلها c , d :

a) اx² + y²  ̶  40x  ̶  30y  ̶  275 = 0

b) اy =  ̶  0.0004x² + x  ̶  3

c) مسار كرة قدم في الجو بعد ركلها .

d) مجموعة النقاط جميعها التي تبعد التي تبعد i30 miعن نقطة على سطح الأرض .

الحل :

a) مع d) حيث معادلة دائرة في a) وتعريف للدائرة في d) حيث البعد الثابت هوi30 mi.

b) مع c) حيث معادلة قطع مكافئ في b) وهو ما يمثل مسار كرة القدم (صعودها لأعلى ثم عودتها للأرض .

فقط وللتوضيح - الشكل المقابل يوضح مسار الكرة ومسار النقطة

( i3) أوجد معادلتي خطي التقارب للقطع الزائد الذي معادلته :

i18درجة :  i1) أربعة , i2) أربعة عشر

( i1) علماً بأنه لاعب جديد هذا يقصر فضاء النواتج

       على اللاعبين الجدد أي i5لاعبين أما أحمد

        ساعات تدريب إضافية أي i4لاعبين من بين

        اللاعبين الجدد فيكون :

==  صفحة ( i7) ==

لسؤال السادس

( i1) يبين الجدول المجاور عدد لاعبي فريق ما الذين يأخذون ساعات تدريب إضافية , علماً بأنَّ بعضهم جديد

       والبعض الآخر قديم . أوجد احتمال أن يأخذ أحمد ساعات تدريب إضافية علماً بأنه لاعب جديد .

الحل :

( i2) إذا كانت f (x) = x³ - 3x² + 5 , فأجب عما يأتي :

       a) أكمل الجدول المجاور .

 c) حدد الاحداثي X لنقاط التحول , وحدد إذا كانت عظمى محلية ,

     أو صغرى محلية .

للدالة قيمة عظمى محلية عند x = 0

للدالة قيمة صغرى محلية عند x = 2