الدرجة النهائية :i50

 i10درجات , درجة لكل فقرة

i2) الحدان الأوسطان مع الحدان i8, −1م.هـ من أربعة حدود

ɑ_n=ɑ₁rⁿ⁻¹→−1=8r⁴−¹→r³=−1/8→r=−½

فالوسطان هما : i−1 × −2 = 2 , 2 × −2 =−4 

أي i−4 , 2 فالإجابة الصحيحة هي B

i3) الإجابة الصحيحة D لأن:

الزاوية موجبة فالدوران ضد عقارب الساعة (تستبعد B )

900^o = 720^o + 180^o = 2×360^o + 180^o

دورتان وi180^o, فتستبعد A أما C فهي دورتان وi90^o  فالمطلوب محقق في الشكل D , لاحظ الآتي:

A : 360^o + 180^o        B : − 2 × 360^o

C : 2 × 360^o + 90^o    D :  2×360^o + 180^o

i4) المتسلسلة هندسية لانهائية أساسها i3/4وحدها الأول i 3

          a_{1              3                3}

 S = —— = ——— = —— = 3 × 4 = 12

        1−r      1−3/4        ¼

     فالإجابة الصحيحة هي A

i5) الحدود مضاعفات العدد i5 أي i5×1 , 5×2 , 5×3 وهكذا ... فتكون الإجابة هي C أي a_n = 5n

i6) بالتعويض عن قيم n في العبارة يكون:

A : 6 + 6 = 12        B : 36 + 12 = 48 = 4×12

C : 216 + 18 = 234 ≠ x × 12  ( الخاطئة )

D :  1296 + 24 = 1320 = 110 × 12

i7) هو i(−2)⁵ = −32 فالإجابة الصحيحة هي A حيث :

(a+b)ⁿ=_nC₀ aⁿb⁰+_nC₁ aⁿ−¹b¹+...+_nC_n a⁰bⁿ

i9) طول القوس = نصف القطر × الزاوية المركزيه المقابلة له

                    = i45 × 4π/9 ( باختصارi9مع i45)

                    = i 20 π

 i10) زاوية الدالة iCos⁻¹هنا هي i30^o وبحساب tan30^o

          نعرف أنَّ الإجابة الصحيحة هي B

 i13درجة ,i7درجات لـ i1) و i6درجات لـ i2)

i1) الحل:

i S_n =½n(ɑ_{1 +} ɑ_n)  → − 1120 =½n(1+(−113))

 −2240 = −112 n  →  n = 20

  ɑ_n = ɑ₁ + ( n − 1 )d  → −113 = 1 + 19d

  d = −114 ÷ 19 = 6

i2) الحل:

           ɑ₁(1 − rⁿ)                    6(1 − 2ⁿ)

i S_n = —————  →  378 = —————

              1 − r                           1 − 2

          6 (1 − 2ⁿ)

378 = ———— →−63=1−2ⁿ →2ⁿ=64 → n=6

             −1

 i13درجة ,i5درجات لـ i1) و i8درجات لـ i2)

 i1) نستخدم نظرية ذات الحدين

                          n           n!

 (ɑ + b)ⁿ = Σ ——— ɑ^n−k b^k

            ^k=0  k!(n - k)

 يمكن وضع ik = 0, 1, 2, 3, 4 للحصول على المفكوك

i2) الخطوة الأولى عندما n = 1

     الخطوة الثانية فرض أنَّ العبارة صحيحة عندما  n = k

     الخطوة الثالثة برهان أنَّ العبارة صحيحة عندما n = k+1

      * في الخطوة الثالثة نضيف حدا لطرفي المعادلة في الخطوة  

     الثانية وهو نفس الحد الأخير باستبدال k بــ k + 1

     نبسط الطرف الأيسر لنحصل على الطرف الأيسر في العبارة

     المطلوبة ولكن تكون k + 1 بدلاً عن k

 i14درجة,i5درجات لـ i1)وi4درجات لـ i2) وi4درجات لـ i2)

i1) النقطةi(x , y)iعلى دائرة الوحدة فإنَّ:i x² +y² = 1

      tanθ  = y ÷ x  ,  cotθ = x ÷ y

i3) نعلم أنَّ  y = ɑ cos bθ حيث:

     السعة تساوي│ɑ│

    , طول الدورة يساوي│ i│360^o ÷ b

    طول الدورة لكل من دالة الجيب (sin) وجيب التمام (cos)

    هوi360^o أي قيمهم تتكرر كل i360^o بمعنى:

sin(x +360^o) = sin(x) , cos(x +360^o) = cos(x)

أجب عن جميع الأسئلة الآتية وعددها i4

السؤال الأول:

اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي . علماَ بأنه لا توجد سوى إجابة صحيحة واحدة لكل فقرة.

i1) الشكل المجاور هو تمثيل بياني للحدود الأربعة الأولى من متتابعة :

A  حسابية حدها الأول ɑ₁ = 8 وأساسها d = −2  يü الحد الأول = i8, الحد الثاني = i6 الحد الثالث = i4فالحدود الثلاثة 

B  هندسية حدها الأول ɑ₁ = 8 وأساسها d = −½i      الأولى هي i8 , 6 , 4 وهي م.ح أساسها i6−8 =−2 = 4−6     

C  حسابية حدها الأول ɑ₁ = 8 وأساسها d = 2

D  هندسية حدها الأول ɑ₁ = 8 وأساسها d = ½i

i2) ما الوسطان الهندسيان بين العددينi 8 , −1 ؟               

     i −4 , −2   A                   و i 4 , −2   C 

     i −4  , 2   B          و            i 4 , 2   D

i3) نفذ غواص في مسابقة الغوص دورة مقدارها i900^oمن منطقة الوثب قبل أن يغطس في الماء .

     أي شكل أدناه يوضح الوضع القياسي لهذه الزاوية ؟

                               i  9    27

i4) ما مجموع المتسلسلة  — , — , i 3(أن وجد) ؟

                               i4    16  

      i 12   A                     و      i 4   C 

      i 9   B         و                    D   لا يوجد

i5) ما صيغة الحد النوني في المتتابعةni5 , 10 , 15 , 20 , ...n

      i 12   A                         و i 4   C  

      i 9   B         و                   D   لا يوجد

i6) أي مما يأتي يعد مثالاً مضاداً لإثبات العبارة i6ⁿ + 6nيقبل القسمة على i12لكل عدد طبيعي n هي عبارة خاطئة ؟

      i n = 1   A                    و i n = 3   C  

      i n = 2   B         و            i n = 4   D

i7) الحد الأخير في مفكوك i(m² − 2)⁵ هو :

      i −32   A                      و i 32   C  

      i −32m²   B         و         i 32m²   D

i8) ما طول النخلة بالشكل المجاور لأقرب قدم (ft) ؟

     i 9 ft   A                        و i 11 ft   C  

      i 10 ft   B         و             i 17 ft   D

                                                                     i4π  

i9) ما طول القوس الذي يحصر زاوية قياسها ——  في دائرة طول قطرها i90 in؟

                                                        i 9

      i 40 π in   A                  و i 20 in   C  

      i 40 in   B         و             i 20 π in   D

السؤال الثاني:

i1) أوجد أساس المتتابعة الحسابية التي فيها i S_n = − 1120 , ɑ_n = −113 . ɑ₁ = 1

     نوجد عدد الحدود للمجموع المُعطى من قانون مجموع المتتابعة الحسابية بدلالة حديها ɑ_{1 ,} ɑ_n

       ومن القانون ɑ_n = ɑ₁ + ( n − 1 )d نوجد الأساس أو من قانون المجموع S_n =½n(ɑ_{1 +} ɑ_n)

i2) لدى سارة ألبوم لجمع الطوابع وضعت في الصفحة الأولى i6طوابع , وفي كل صفحة تضع سارة

     ضعف عدد الطوابع من الصفحة التي قبلها مباشرة . إذا كان مجموع عدد الطوابع في جميع الصفحات

     i378طابعاً . فكم عدد صفحات الألبوم ؟

(تنبيه : استعمل القانون المناسب من قوانين درس المتتابعات والمتسلسلات التي درستها لحّل هذا السؤال)

السؤال الثالث: 

i1) أوجد مفكوك i (x + 3y)⁴

  (x + 3y)⁴ = ₄C₀x⁴(3y)⁰ + ₄C₁x³(3y)¹ + ₄C₂x²(3y)² + ₄C₃x¹(3y)³ + ₄C₄x⁰(3y)⁴  

                 =  x⁴ + 4x³(3y) + 6x²(9y²) + 4x(27y³) + (81y⁴)

                 =  x⁴ + 12x³y + 54x²y² + 108xy³ + 81y⁴

                                                                    ^{1                1                  1                               1}                  n

i2) برهن أن ——— = ——— + ..... + ——— + ——— + ———  لكل عدد طبيعي n  

                                                   (1)(2)       (2)(3)       (3)(4)                  n(n+1)      n + 1

     الخطوة الأولى عندما n = 1   الطرف الأيسر i1 ÷ (1+1) = 1 ÷ 2 = 0.5

                                                  الطرف الأيمن  i1 ÷ 1(1+1) = 1 ÷ 2 = 0.5    (أو نأخذ الحد الأول i1÷2 = 0.5)

    الخطوة الثانية بفرض أنَّ العبارة صحيحة عندما n = k أي :

                                                                   ^{1                1                  1                                 1}                  k

i               ——— = ——— + ..... + ——— + ——— + ———    حيث k عدد طبيعي

                                                   (1)(2)       (2)(3)       (3)(4)                  k(k+1)       k + 1

    الخطوة الثالثة أثبات أنَّ العبارة صحيحة عندما n = k + 1

       ^{1                1                  1                               1}                       1                 k                1   

i  —— + ——— + ——— + ..... + ——— + ————— = ——— + —————  

   (1)(2)     (2)(3)        (3)(4)                 k(k+1)     (k+1)(k+2)        k+1      (k+1)(k+2)

                                                                k(k + 2) + 1

i                                                            = ——————  

                                                                 (k+1)(k + 1)

                                                                k² + 2k + 1

i                                                            = ——————  

                                                                 (k+1)(k + 2)

                                                                (k+1)(k+1)

i                                                            = ——————  

                                                                 (k+1)(k + 2)

                                                         k + 1

i                                                     = ————  

                                                          k + 2

                                                            k + 1

i                                                        = —————  

                                                             (k + 1) + 1

   وهذا نفس الطرف الأيمن في العبارة المطلوبة فالعبارة صحيحة عندما n = k +1 لذا فإنَّ العبارة صحيحة لأي عدد n طبيعي

السؤال الرابع: 

                                                                                                                            _—

i1) إذا كان الضلع النهائي لزاوية θ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقة p(x , √5 )i

                                                                                                    —

                                                                                                     i 3

     حيث ix > θ, فأوجد :

   I ) قيمة x .

x² + 5/9 = 1 → x² = 1 − 5/9 = 4/9  → x = 2/3  (x > 0)i

   II )ا cotθ .

          بالتعويض عن قيمة x في النقطة p و تطبيق cotθ = x ÷ y

i2) من دون استعمال الآلة الحاسبة أوجد القيمة الفعلية للمقدار الآتي , موضحاً خطوات الحل لكل ناتج :

          5π               π         5π  

    tan — + sec(−— ) sin —

         4                6          3

      5π               π            π                  π            π      2          5π                π               π       √3

tan —=tan(π+—)=tan(—)=1, sec(−—)=sec(—)=—  , sin —=sin(2π−—)=−sin(—)=−— 

       4                4            4                   6            6     √3          3                 3               3         2

          5π               π         5π           2        √3

    tan — + sec(−— ) sin — = 1 + — × −— = 1 − 1 = 0

           4                6          3           √3         2

i3) أوجد السعة , وطول الدورة للدالة y = 4 cos3θ , ثم مثلها بيانياً.

     السعة :  i│4│= 4

                          i360^o

      طول الدورة :  │——│=i 120^o

                            i3