أجب عن جميع الأسئلة الآتية وعددها

ملاحظة : جميع الرسومات الواردة في الامتحان تقريبية

السؤال الأول: i10  درجتان  لكل فقرة

( i1) الدالة ممثلة بيانياً بخط مستقيم // محور x فهي دالة ثابتة.

( i2) الدالة الدرجية - دالة أكبرعدد صحيح [[ƒ(x) = [[x

     ناتجها أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x

     [[i2.3 ]] = 2  

( i3) بفك المحدد  i2×α−6×1 = 0 → 2α = 6 → α = 3

( i4) الدالة التربيعية y=a(x−h)²+k لقطع مكافىء رأسه

        (h , k) والدالة الأم للقطع المكافىء هي y = x²

        رأس القطع المكافىء المطلوب هو ( i2 , 1) .

( i5) بالتعويض عن x = 4

4² − 3×4 + α = 0   16−12+α=0   α =−4

( i6) تحدد رتبة المصفوفة بـ عدد الصفوف × عدد الأعمدة

        والمصفوفة المعطاة هنا مكونة من صف واحد وثلاثة

        أعمدة فرتبتها i 1 × 3

( i7) الجزء المظلل الممثل للمتباينة يقع على يمين الخط x=2

       بما في ذلك الخط (ليس منقطاً) أي المتباينة هي x ≥ 2

( i8)  

( i9) المنحنى الأيمن g(x)=x لقيم x الموجبة بما فيها الصفر

     والمنحنى الأيسر لدالة ثابتة لقيمة x السالبة x = −1  

السؤال الثاني: i8  درجات :  ( i1) درجتان, ( i2) ثلاثة, ( i3) ثلاثة

( i2) التمثيل البياني للدالة هو إزاحة للدالة الأم│y=│x

       بثلاث وحدات جهة اليسار

( i3) التمثيل البياني للدالة هو تمثيل للدالة الأم y = x² . وهي  

       توسع التمثيل البياني للدالة الأم رأسياً.

       إزاحة التمثيل البياني للدالة الأم i5وحدات جهة اليمين

       إزاحة التمثيل البياني للدالة الأم وحدتان إلى أسفل      

السؤال الثالث: i13  درجة :  ( i1) سبعة درجات, ( i2) ستة درجات

( i1) نوجد ميل المستقيم ومن ثم نعوض في معادلته العامة

                     y_{2 −} y₁

 m = ————                    ميل المستقيم

                     x_{2 −} x₁      

 معادلة المستقيم :  ( y ₋ y₁ ) = m ( x ₋ x₁ )

 معادلة المستقيم بصيغة ميل - مقطع : y = m x + b

 حيث m الميل , b مقطع المحور y

( i2) لإيجاد قيمة المميز ونوعه وعدد جذور المعادلة

b² − 4 a c = المميز

المعادلة من الدرجة الثانية فيوجد جذران

نوع الجذران يعتمد على قيمة المميز

المميز قيمته موجبة فالجذران حقيقيان

المميز قيمته صفر فالجذران متساويان

المميز قيمته سالبة فالجذران مركبان ( في المسألة)

بنقل i5للطرف الأيمن

x² + 3 x + 5 = 0

السؤال الرابع: i11  درجة :  ( i1) خمسة درجات, ( i2) ستة درجات

( i1) بالقسمة على i2والنقل للطرف الأيسر أو النقل ثم القسمة

       أخذ الجذر التربيعي للطرفين

       تبسيط العدد I32إلى i16 × 2لكون i16 جذرها التربيعي i4

       الجذر التربيعي لسالب الواحد الصحيح هو i

       الجذر التربيعي لكمية مربعة تكون إجابته بـ ±    

( i2) ضرب عدد في مصفوفة يكون بضرب العدد في كل عناصرها

       جمع مصفوفتان لهمل نفس الرتبة هو مصفوفة يكون عناصرها

       بجمع العناصر المتقابلة في المصفوفتين.

       إذا تساوت مصفوفتان فالعناصر المتقابلة فيهما متساوية.

السؤال الخامس:  i18  درجة :  ( i1) ثمانية درجات, ( i2) عشرة درجات

( i1) مساحة سطح المثلث بمعلومية إحداثيات رؤرسه:

  (a , b) , (c , d) , (e , f)     رؤوس المثلث

  A مساحة المثلث

لحساب قيمة المحدد المطلوب

  * نضيف العمودين الأول والثاني على يمين المحدد

  * نوجد حاصل الجمع لنواتج الضرب لعناصر الأقطار الرئيسية

     (ذات الخطوط الزرقاء) ولتكن Δ₁

  * نكرر ذلك مع الأقطار الأخرى (ذات الخطوط الحمراء) لتكن Δ₂

  * قيمة المحدد = Δ_{1 −} Δ₂      هناك طرق أخرى

( i2) لحل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات

      * نوجد المعادلة المصفوفية والمكونة من ثلاث مصفوفات

         مصفوفة المعاملات لـ x , y ومصفوفة المجاهيل x , y

         ومصفوفة الثوابت (القيم في الطرف الأيسر)

      * نوجد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات وذلك بإيجاد قيمة

         محدد مصفوفة المعاملات وهو لا يساوي الصفر

      * والنظير = 1÷ قيمة محد مصفوفة المعاملات بعد تبادل

         عنصري القطر الرئيسي كل مكان الآخر وتغير إشارة

         عناصر القطر الآخر.

      * نضرب طرفي المعادلة المصفوفية في النظير الضربي

         سيكون الطرف الأيمن فقط لمصفوفة المجاهيل

      * نختصر الطرف الأيسر للحصول على مصفوفة

      * نساوي العناصر المتقابلة في المصفوفتين المتساويتين

      * ناتج x , y هو حل للنظام

السؤال السادس: i17 درجة

  لتكن x عدد الحقائب المنتجة من النوع الأول

        y عدد الحقائب المنتجة من النوع الثاني

  عدد ساعات العمل i8h فالمتباينة الخاصة بالوقت

 a)

x + 2y ≤ 8

  المنتج من الحقائب       x ≥ 2 , y ≥ 1          

 b)

  بتمثيل المتباينة x + 2y ≤ 8 بيانياً نكون الجدول الآتي:

السؤال الأول:

ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي :

( i1) ما نوع الدالة ^(ƒ(x الممثلة بيانياً في الشكل المجاور ؟

       A   دالة قيمة مطلقة                 B   دالة ثابتة

         C   دالة درجية                      D   دالة تربيعية

( i2) ما قيمة [[i [[2.3                                                          

       i 1   B                   i 0   A و           i 3   D                i 2   C

       i 3   B                   i 5   A و           i −4   D                i −3   C

( i4) رأس القطع المكافىء الذي معادلته y = −6 (x − 2)² + 1  هو :

 (1 , 2)  B                     (−2 , 1)  A        

 (2 , 1)  D                  (−2 , −1)  C        

( i5) إذا كان العدد i4هو جذر للمعادلة x² − 3x + α = 0 , فما قيمة α ؟

       i 1   B                   i 4   A و           i −4   D                i 0   C

( i6) ما رتبة المصفوفة [i[ -1  0  2 ؟

      i 1 × 3   A                    و i 1 × 1   C  

      i 3 × 1   B         و            i 3 × 3   D

( i7) المتباينة الممثلة بيانياً في الشكل المجاور هي :

       y ≤ 2   A 

       x ≤ 2   B

      y ≥ 2    C 

      x ≥ 2    D 

( i8) الدالة الممثلة بيانياً في الشكل المجاور تمثل دالة :

       A   واحد لواحد , وشاملة

       B   واحد لواحد , وليست شاملة  

       C   ليست واحد لواحد , شاملة  

       D   ليست واحد لواحد , وليست شاملة  

( i9)  الدالة المعرفة بأكثر من قاعدة الممثلة بيانياً في الشكل المجاور هي :

الإجابة الصحيحة هي  A

السؤال الثاني:

( i1) شكل الانتشار أدناه يبين عدد الطلبة الملتحقين بمراكز وحلقات تعليم القرآن الكريم في مملكة البحرين

       خلال عدة سنوات. حدد ما إذا كان الشكل يبين ارتباطاً موجباً , أو ارتباطاً سالباً , أو أنه لا يوجد ارتباط

       بين البيانات . وإذا وجدت ارتباطاً أو موجباً أو سالباً ففسر معناه .

 الإجابة:

         يبين شكل الارتباط المجاور ارتباطاً موجباً بين البيانات ,

        فكلما زادت قيمة x زادت قيمة y .

        ( أي كلما زادت السنوات زاد عدد الطلبة الملتحقين ) .

( i2) صف الإزاحة في التمثيل البياني للدالةy = │x + 3 │i .

( i3) صف التحويلات الهندسية في التمثيل البياني للدالةy = 3 (x − 5)² − 2i .

          العدد i3 يعني : توسع التمثيل البياني للدالة الأم رأسياً.

          x−5 يعني : إزاحة التمثيل البياني للدالة الأم i5وحدات جهة اليمين.

          i−2تعني : إزاحة التمثيل البياني للدالة الأم وحدتان إلى أسفل.

السؤال الثالث: 

( i1) أوجد معادلة بصيغة ميل - مقطع للمستقيم المار بالنقطتين (i(−1 , 0) , (3 , 1.

الحل

                     نوجد ميل المستقيم ومن ثم نعوض في معادلته العامة

                        y_{2 −} y_{1            1 − 0           1}

                                   m = ———— = ———— = —     ميل المستقيم

                        x_{2 −} x_{1          3 −(−1)        4}

                                     y ₋ y₁ = m (x ₋ x₁)                   معادلة المستقيم

 ₁

    y − 0 = — (x − (−1))

 ₄

      ₁       

     y = — (x + 1)

            ₄               

       _{1            1}

y = — x + —

       _{4            4}

( i2) أوجد قيمة المميز للمعادلة x² + 3 x = − 5 , ثم حدد عدد جذورها , وأنواعها

b² − 4 a c = المميز

a = 1 , b = 3 , c = 5

b² − 4 a c = 9 − 4 × 1 × 5

                 = 9 - 20

                 = −11

                  < 0

حيث أنَّ المميز قيمته سالبة فاللمعادلة جذران مركبان

السؤال الرابع: 

( i1) حل المعادلة  i2x² + 64 = 0

الحل

i2x² =−64

i x² =−32

                    ——

       ix =±√−32

                        ———

i           x =±√−16×2

                      —

i        x =±4√ 2 i

 --

               i ±4√2 i    حلا المعادلة هما

السؤال الخامس:

( i1) حديقة مثلثة الشكل , رسم لها مخطط في المستوى , فكانت رؤوسها على المستوى هي

      (i(5 , 3) , (-5 , 6) , (10 , -4 . أوجد مساحة سطح الحديقة , إذا كانت كل وحدة على

      المستوى الإحداثي تمثل i1m على سطح الأرض .

                                   1

                               =—[(5×6×1 + 3×1×10 + 1×−5×−4) − (1×6×10 + 3×1×−4 + 1×6×1)]

                                   2

                                   1

                               =—[ (30 + 30 + 20) − (60 − 20 − 15)]

                                   2

                                   1

                               =—[80 − 25]

                                   2

                                   1

                               =—(55)

                                   2

                                       =27.5

( i2) استعمل نعادلة مصفوفية لحل نظام المعادلات الآتي :

2x − 4y = 2

−3x + y = −13

الحل

السؤال السادس:

     يُنتج مصنع للجلود نوعين مختلفين من الحقائب الجلدية , ويستغرق مدة i1hفي إنتاج كل حقيبة من النوع

     الأول , مدة i2hفي إنتاج كل حقيبة من النوع الثاني . والمصنع ملتزم بإنتاج حقيبتين على الأقل من النوع

     الأول , وحقيبة على الأقل من النوع الثاني يومياً . إذا كان عدد ساعات العمل لا يزيد عن i8hفي اليوم .

     فأجب عما يأتي :

    a) اكتب نظام من المتباينات يمثل هذا الموقف.   ←

    b) مثل نظام البيانات بيانياً . وحدد رؤوس منطقة الحل المحتملة.   ←

    c) إذا كان المصنع يربح iBD 8 في كل حقيبة من النوع الأول , iBD 6في كل حقيبة من النوع الثاني , ↓

        فاكتب دالة الربح.

    d) أوجد عدد الحقائب الجلدية التي يجب على المصنع إنتاجها من كل نوع يومياً للحصول على أكبر ربح  ↓

        ممكن , وأوجد قيمته.

      الحل

           بتكوين المتباينات والجدول والتمثيل البياني كما هو مبين نوجد دالة الربح ونعوض للحصول على المطلوب

    c)   دالة الربح هي: ƒ(x,y) = 8x + 6y

(2,3): ƒ(2,3) = 8×2 + 6×3 = 16 + 18 = 34

(2,1): ƒ(2,1) = 8×2 + 6×1 = 16 + 6  = 22  

(6,1): ƒ(6,1) = 8×6 + 6×1 = 48 + 6 = 54   

     d) يتبين أنَّ اكبر ربح هو iBD 54 , ويحصل عليه عندما ينتج i6حقائب من النوع الأول وحقيبة

           واحدة من النوع الثاني يومياً.

السؤال السابع:

  إذا كانت            ƒ( x ) = x² − 2x

  فأجب عما يأتي :

  a) أوجد مقطع المحور y .

  b) أكمل الجدول أدناه , علماً بأنَّi(1,−1)iهو رأس القطع المكافىء .

   c) اكتب معادلة محور التماثل .

   d) مثل الدالة ƒ بيانياً .

   e) من التمثيل البياني للدالة حدد كل من :

• أصفار الدالة

• القيمة العظمى أو الصغرى للدالة

• مجال الدالة

• مدى الدالة

 تابع الحل          (a) , b) , c) , d    ا ← ← ←

          e) أصفار الدالة هي i 0 , 2

              توجد قيمة صغرى فقط قيمتها i−1عند x = 1

              مجال الدالة هو R

              مدى الدالة هو { y \ y ≥ −1 }