أجب عن جميع أسئلة هذا الامتحان وعددها i7                                                            الدرجة النهائية i100

 i20 درجتان  لكل فقرة

i1) هنا X  < 5 والاعداد الصحيحة التي هي أقل من I5تقع

     في المجموعة A فهي الصحيحة.

i2) مجال الدالة هنا هو رفض قيم Xالتي تجعل المقام = صفر أي

X − 6 ≠ 0  →  X  ≠ 6

     كما أنَّ وجود الجذر التربيعي يعني ما بداخله كمية موجبة أي

X − 6 ≥ 0  هذا للجذر التربيعي

     المجال هو لكل قيم X حيثX  > 6 i وهذا محقق في C

i3) من الشكل أنَّ محور التماثل هو المحور y

i4) المتغير المتصل لا يمكن عدُه كالمنفصل فالوقت لا يمكن عده

     في فترة كعدد الكتب والإجابات وأولياء الأمور فالصحيح D

i5) متوسط معدل التغيّر للدالة في الفترةi[ X₁ , X₂[i هو:

                 ƒ(X₂ ) − ƒ(X₁ )

m_sec= ———————         وبالتعويض نحصل على 

                    X₂  − X₁ 

 ƒ(2 ) − ƒ(0 )      (−2×4 + 3×2 + 4) − (0 + 0 + 4)

 ————— =  —————————————

    2  − 0                                         2   

                          (2) − (4)      −2

                    =  ———— = —— = −1

                                     2               2

i6) لمعرفة منحنى يمثل دالة أم لا , نبين هل الخط الرأسي يقطع

     المنحنى في نقطة واحدة فقط (فالمنحنى لدالة) وإلا فالمنحنى

     لا يمثل دالة ونجد هذا يتحقق فقط في الشكل D

i7) نوجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر ونحسب قيم X التي

     عندها نقاط حرجة ثم نعوض للحصول على y

 ƒ^\(X) = 2X − 6  →  0 = 2X − 6  → X = 3

 ƒ(3) = 3² − 6×3 = 9 − 18 =−9  → (i3 ,−9)

                                                 i             1           ⁴

i8)إk — X ² │ = 24i│ وبالتعويض عن X =4 , X =0

             i                                  _{2          0}     

 (k×16/2 − k×0/2) = 24  → 8k = 24 → k = 3

i9) المدرج التكراري يبين أنَّ التوزيع ذو التواء موجب.   

     في الشكل D الطرف الأيمن أطول من الطرف الأيسر ,

     وأنَّ الخط الذي يمثل الوسيط أقرب إلى Q₁ منه إلى Q₂

     فأنَّ التوزيع ذو التواء موجب.

     Q₁ الربيع الأول(الأدنى) , Q₂ الربيع الثالث(الأعلى)

     لاحـظ : الشكل في A يبين تماثل

              الشكل في C يبين التواء سالب

i10) المدى الربيعي هو الفرق بين المدى الربيعي الثالث والأول

       Q₃ − Q₁=i322 − 282 =i40ا= المدى الربيعي

273 , 282 , 290 , 292 ,317 , 322 , 363

 i13 درجة  (i1) ستة , (i2) أربعة , (i3) ثلاثة

i1) من الشكل نجد أنَّ:

i2) نحسب أولاً قيمةg(5) i ونحسب قيمة الناتج مع الدالة ƒ

               ——                 ——    —

  g(X) = √(X-1)     g(5) = √(5-1) = √4  = 2

   [ƒ o g](5) = ƒ[g(5)] = ƒ[2] = 2×2 = 4

i3) الدالة العكسية تنتج من استبدال المتغيرين كل مكان الآخر

     المتغيران هنا هما الزمن t والارتفاع h وبوضع (t(h  

     بـ y يكون:

                                                          _{—                               —}

t(h) =ƒ(X ) = y →  y = √X / 4  → X = √y / 4

     بتربيعي طرفي الدالة والضرب في i16فالدالة العكسية هي:

y =16 X²  →  ƒ⁻¹(X) =16 X²

t = 10 sec  h = 16(10)² = 16× 100 = 1600 ft

 i9 درجة  (i1) خمسة , (i2) أربعة

i1) حساب المشتقة باستخدام التعريف

ƒ(X + h) = 3(X +h) + 8

              = 3X +3h + 8

       ƒ(X) = 3X + 8

ƒ(X + h) − ƒ(X) = 3h

             ƒ(X + h) − ƒ(X)

        ———————— = 3

                        h

                       ƒ(X + h) − ƒ(X)     

   ƒ^/(X) = lim ———————— = lim 3 = 3

                  h→0              h                     h→0

i2) مشتقة الدالة النسبية هي :

              h(X)      g(X) ƒ^/(X) − ƒ(X) g^/(X)

 ƒ(X) = —— = ——————————— 

             g(X)                   [g(X)]²

                 g(X) h^/(X) − h(X) g^/(X)

 ƒ^/(X) = ——————————— 

                          [g(X)]²   

i16درجة: (i1a)درجتان,(i1b)ثلاثة,(i3a)أربعة,(i3b)سبعة

i1)

       → → → الحل

i2)

a )∫(5X ⁴−6X +7) dX

          5X ⁵     6X ²

     = —— − —— +7X + C

            5          2

  = X ⁵ −3X ² + 7X + C

     1                                  1

b ) ∫ X ( 2 − 15 X ) dX  =∫ ( 2X −15 X² ) dX

−1                               −1

        1                             1

     =∫ ( 2X −15 X² ) dX =∫│2X²/2− 15 X³/3│

    −1                          −1

                                   1

     =∫│X² − 5 X³│ =[(1−5×1)−(1−(−5)]

                       −1

     = −4 −6 = −10

i10درجة: i1) درجتان , i2) ثمانية

i1) تجربة ذات حدين تختص بالتجارب العشوائية ذات الناتجين صح

      أو خطأ ( فشل ونجاح ) للمحاولات المستقلة المتكررة كرمي زهرة

      النرد فالنتيجة عدد أولي أو غير أولي ، زوجي أو فردي وهو ما

      يعرف بتجربة ذات الحدين التي تحقق الشروط الآتية:

i1) كل محاولة تعطي نتيجة واحدة فقط نجاح أو فشل

i2) احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) =اi1

i3) المحاولات (عددها n) مستقلة فيما بينها.

i4) يمثل المتغير العشوائي X بعدد مرات النجاح في n من المحاولات

i2) الوسط μ لتوزيع ذات الحدين

a)  μ = n p

     الانحراف المعياري ورمزه σ حيث σ² هو التباين

  b) σ² = n p q

              ———

   σ =√ ^{n p q}

    المتغير العشوائي X عدد مرات الإجابة بنعم فالموظفين الأربع

    أجابوا لا أي X = 0 أو موظف فقط أجاب نعم أي X =1 أو 

    موظفان أجابوا بنعم أي X = 2 أو ثلاثة موظفين أجابوا نعم

    أي X = 3 أو الأربعة موظفين أجابوا نعم أي X = 4

i12درجة: i1)اi6درجات, i2)اi3درجات, i3)اi3درجات                   

a)  أكمال الجدول

b) رسم المنحنى كما هو مبين جهة اليمين من جدول ( i1)

    حيث القيم باللون الأزرق لرسم المنحنى المطلوب

c) من الرسم ومن القيمة i72على المحور الأفقي نرسم عموداً

    يلاقي المنحى في نقطة ومنها نرسم خط أفقي يلاقي المحور

    الرأسي عند القيمة i88.6وهي الرتبة المئينية للوزن i72 kg

    أو بالحساب فمن جدول ( i1) نجد أنَّ i72تقع بين i70 , 75

i20درجة: ia)اi7درجات, ib)اi8درجات, ic)اi5درجات

a) نحسب قيمة Z (الدرجة المعيارية) من القانون الآتي حيث أنَّ

    X تمثل القيمة المطاة , μ الوسط الحسابي , σ الانحراف

    المعياري.

          X − μ

    Z = ————

               σ        

    لإيجاد المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وذلك

     من جدول Z ثم إضافة i0.5

     تنويه هناك جدول Z مضاف لقيمه i0.5

b) نحسب Z لكل من القيمتين i70, 90ثم نحسب المساحة كما

     مبين بالشكل

c) حساب درجة يوسف المطلوبة

    نحسب قيمة X من القانون بعد حساب قيمة Z من الجدول

    للقيمة i0.10كما مبين بالشكل أدناه.

السؤال الأول:

اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي , علماً بأنه لا توجد سوى إجابة صحيحة واحدة لكل فقرة :

i1) ما المجموعة التي تُعبر عن الصفة المميزة { X  \ X  < 5 , X ϵ W } ؟

{ 1, 2, 3, 4, 5 }    C                 { 0, 1, 2, 3, 4 }    A ü     

             { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }    D                     { 1, 2, 3, 4 }    B          

                         ——— 

                                 X − 6 √

i2) ما مجال الدالة  ————

                          X − 6        

( 6 , ∞ )    C ü                ( −∞ , 6 )    A          

             [ 6 , ∞ )    D                     ( −∞ , 6 ]    B          

i3) ما نوع التماثل في الشكل المجاور , (إن وجد) ؟

        A    تماثل حول المحور  C             X    تماثل حول نقطة الأصل

   üاB    تماثل حول المحور y            ه D    لا يوجد تماثل

i4) أي من العبارات الآتية تُمثل المتغيّر العشوائي المتصل ؟

        X    A  يُمثل عدد الكتب الدينية بمكتبة حمد

        X    B  يُمثل عدد حضور أولياء الأمور في اليوم المفتوح الذي أقامته إحدى المدارس لهذا العام

        X    C  يُمثل عدد عدد الإجابات الصحيحة التي أجابتها مريم في الامتحان النهائي لمساق النحاسبة

   üاD   اX  يُمثل الوقت الّذي سيحتاجه ناصر لحل جميع تمارين درس التوزيعات الاحتمالية

i5) ما قيمة متوسط معدل التغيّر للدالة h(X) = −2X² + 3X + 4 في الفترةi[ 0 , 2[i؟

2    C                    −1     A ü    

             4    D                       1     B         

i6) ما العلاقة التي تُمثل دالة في كل شكل أدناه ؟

i7) النقطة الحرجة للدالة  ƒ(X) = X ² − 6X

( −3 , 9 )    C                 ( −3 , −9 )    A          

            ( 3 , 9 )    D                    ( 3 , −9 )    B ü     

                                           i ⁴

i8) إذا كان k X dX = 24i∫ فما قيمة k ؟

                                  i₀   

6     C                       3     A ü    

             12    D                       4     B         

i10) ما قيمة المدى الربيعي للقيم  i273 , 282 , 290 , 292 ,317 , 322 , 363 ؟

40    C  ü                 10     A         

             90    D                       30     B         

السؤال الثاني:

i1) استعمل التمثيل البياني للدالة  ƒ(X) = X ³ − 2X ² − 3X المجاور ؛ للإجابة عما يأتي :

     a) قدّر أصفار الدالة .

     b) حدّد مقطع المحور y .

     c) أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة .

     d) قدّر الاحداثي X للنقاط العظمى والصغرى المحلية للدالة .

  الحل

     a) أصفار الدالة هي : i −1 , 0 , 3

     b) مقطع المحور y هو:  y = 0

     c) الدالة متزاية في: (∞ , i(−∞ , −0.5) , (2

         والدالة متناقصة في:i(−0.5 , 2)i

     d) للدالة قيمة عظمى محلية عند  X = − 0.5

          للدالة قيمة صغرى محلية عند   X = 2

                                                          ——

i2) أوجد (ƒ o g](5] للدالتين  ƒ(X) = 2X  و g(X) =√X −1

       الحل:

                                                          ——         ——

                   [ƒ o g](x) = ƒ[g(x)] = ƒ(√X −1 ) = 2√X −1

       ——

[ƒ o g](5) =2√5 −1 = 2× 2 = 4

i3) تقوم الطائرات عادة بإسقاط الماء عند إطفاء حرائق الغابات , ويعطى الزمن الّذي يستغرقه الماء للوصول

                                                    —

                                                     h√  

     إلى سطح الأرض بالثواني (sec) بالدالة t(h) = —i , حيث h ارتفاع الطائرة بالقدم (ft). أوجد الدالة

                                                                   i4

      العكسية لدالة ارتفاع الطائرة . وإذا استغرق الماء إلى سطح الأرض i10 sec, فأوجد ارتفاع الطائرة .

      الحل

       _{—                      —}                      

                      √h            √h                     —            

    t(h) = —i →  t = — = → 4 t = √h     

   4              4                 

 h = 16t²       t⁻¹(h) = 16t²      

                                 t = 10 sec      h = 16(10)² = 16× 100 = 1600 ft

السؤال الثالث: 

i1) باستعمال التعريف أوجد مشتقة الدالة ƒ(X) = 3X + 8

الحل

                            ƒ(X + h) − ƒ(X)             3(X + h) + 8 −(3X + 8)       

   ƒ^/(X) = lim ——————— = lim ———————————

                  h→0              h                  h→0                     h                                  

                                                               3X + 3h + 8 −3X −8

                                                 = lim ——————————

                                                                h→0                   h

                                                                3h

                                                 = lim  —— = 3

                                                                h→0     h

i2) أوجد مشتقة الدالة ( ƒ(X عند iX  = 4 حيث

     الحل

X ²

    ƒ(X) = ——   ,  X  ≠ 3

X − 3

h(X) = 2X   →   h^/(X) = 2X

g(X) = X −3 →  g^/(X) = 1

                 (X − 3) × 2X  − X ²  × 1        2X ² − 6X  − X ²       X ² − 6X       X (X − 6)

 ƒ^/(X) = —————————— = ——————— = ———— = ————

                          (X − 3)²                        (X − 3)²            (X − 3)²        (X − 3)²

                X (X − 6)          4(4 − 6)         4 × − 2

 ƒ^/(4) = ————— = ————— = ———— = −8

               (X − 3)²               (4 − 3)²                1

السؤال الرابع: 

i1) احسب كل  نهاية مما يأتي , أن أمكن :

                  ———    

a)  lim  √16 − x  

   X→−9              

                                           X ² + 4X  − 5                      

         b) lim ——————    

             X→1      X−1            

               ———       ————      —

a )  lim  √16 − x  = √16−(−9) = √25 = 5

    X→−9              

               X ² + 4X  − 5                 (X + 5)(X −1)

b ) lim —————— = lim  ——————

     X→1     X−1                 X→1         X −1

  = lim (X + 5) = 1 + 5 = 6

     X→1 

i2) احسب تكامل كل مما يأتي :

          a ) ∫( 5X ⁴ − 6X  + 7)dX

          1                       

         b ) ∫ X ( 2 − 15 X ) dX  

         −1                          

السؤال الخامس:

      تبين نتيجة لمسح إحصائي لإحدى الشركات أن i60%من موظفي الشركة أدوا فريضة الحج . إذا اختير

     i4موظفين عشوائياً , وتمَ سؤالهم عما إذا أدوا فريضة الحج . وكان المتغير العشوائي X يدل عدد الموظفين

     الذّين أجابوا بنعم .

i1) حدّد فيما إذا كانت التجربة ذات حدين .

i2) استعمل صيغ الوسط الحسابي والانحراف المعياري لتوزيع ذات الحدين لإيجاد :

     a) الوسط .

     b) الانحراف المعياري لهذا التوزيع .

الحل

i1)  *   كل موظف تمَ اختياره يمثل محاولة وهي الاختار هذه محاولات مستقلة .

      *   للتجربة نتجتان متوقعتان أم نعم S أو لا F .

      *   احتمال الإجابة بنعم (P(S , احتمال الإجابة لا (P(F .

      *   يمثل المتغير العشوائي X عدد مرات النجاح في n من المحاولات

  P(S) = 0.64 , P(F) = 1 − P(S) = 1 − 0.64 = 0.36

  p = 0.64 , q = 0.36 , n = 4  ,  X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4

i2) إa) إيجاد الوسط والذي يرمز له بالرمز μ :ـ

 μ = n p = 4 × 0.64 = 2.56

      b) الانحراف المعياري:

                                             ——      —————       ———

 σ  =√^{npq =}√^{4×0.64×0.36 =}√ ^{0.9216 = 0.96}

السؤال السادس:

    يبين الجدول المجاورالوزن بالكيلوجرام (kg) لـ i500طالب بإحدى المدارس الثانوية .

   a) أكمل الجدول المجاور .                                  جدول ( i1) لتوضيح الرسم البياني بالنسبة للحدود العليا للفئات

   b) ارسم المنحنى المئيني لهذه الأوزان .                 

   c) قدّر الرتبة المئينية للوزن i72 kgضمن التوزيع , وفسّر معناها.

   الحل  a) و c) ← ← ←

   b) المنحنى المئيني لأوزان الطلبة

السؤال السابع:

         اعطى معلم اختباراً لطلبته في مساق مشروعات صغيرة وريادة الاعمال , إذا كانت درجات الطلبة موزّعة

          توزيعاً طبيعياً , بوسط μ = 74 , واحراف معياري σ = 10 . فأوجد الاحتمالات المطلوبة , وارسـم

          المساحة تحت المنحنى والمرتبطة بالاحتمال .

( تنبيه : مرفق جدول التوزيع الطبيعي المعياري بصفحة 9 )

   a)ا( P ( X < 86  .

   b)ا( P ( 70 < X < 90  .

    c) إذا رغب الطالب يوسف أن تكون درجته من أعلى i40%من الدرجات , فما هي الدرجة التي يجب

       أن يحصل عليها ؟

الحل

a) P (X < 86 )

X − μ        86 − 74       12

    Z = ———— = ———— = —— = 1.2

      σ                 10           10   

     من جدول Z ومن العمود الأول مقابل i1.2نجد القيمة i0.3849فتكون المساحة تحت المنحنى:

المساحةi= 0.5 + 0.3849 = 0.8849

b) P (70 < X < 90 )

X − μ         70 − 74      −4   

   Z = ———— = ———— = —— = −0.4

      σ                 10           10     

X − μ        90 − 74       16

   Z = ———— = ———— = —— = 1.6

      σ                 10           10   

   إذا كان جدول Z مضاف لقيمه i0.5

     من جدول Z ومن العمود الأول مقابل i0.4نجد القيمة i0.6554لكنها سالبة أي i1−0.6554 = 0.3446للقيمة i−0.4

     من جدول Z ومن العمود الأول مقابل i1.6نجد القيمة i0.9452

     والمساحة تحت المنحنى:  i0.9452 − 0.3446 = 0.6006

     من الجدول المرفق في الامتحان فقيم Z تمثل المساحة على يسارها وعلى يمينها للقيم السالبة

     من جدول Z ومن العمود الأول مقابل i0.4نجد القيمة i0.1554

     من جدول Z ومن العمود الأول مقابل i1.6نجد القيمة i0.4452

     والمساحة تحت المنحنى بجمع قيم Z الجدولية : i 0.1554 + 0.4452 = 0.6006

  c)

     لإيجاد أعلى i40%من الدرجات , نوجد درجة الاختبار X التي تفصل أعلىi40%من المساحة تحت المنحنى كما مبين

     في الشكل ونوجد قيم Z المرتبطة بالمساحة i10%أو i0.10فنجدها من الجدول المرفق تساوي i0.25وبتطبيق القانون

              X − 74

    0.25 = ————

              10  

        X − 74 = 0.25×10

            X = 2.5 + 74 = 76.5

       يحتاج يوسف للحصول على الدرجة i76.5على الأقل لتكون درجته من أعلى i40%من درجات الاختبار.

( أنتهت الأسئلة )