ωـ                                            ωـ²                     1

(1) أثبت أن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = – ــــ

                   ( 2 + 5 ωـ + 2 ωـ²)²       ( 2 + 2 ωـ + 5 ωـ²)²         9

الحــل:  المقام الأول = ( 2 + 5 ωـ + 2 ωـ²)² = ( 5 ωـ– 2 ω)^ـ2 = 9 ωـ²

          المقام الثاني = ( 2 + 2 ωـ + 5 ωـ²)² = ( –2 ωـ²+ 5 ωـ²)^ـ2 = 9 ωـ⁴ = 9 ω           

                 ωـ                 ωـ²        ω + ωـ³         ωـ+ 1      – ωـ²        1

الأيمن = ــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــ = – ــــــ = الأيسر

              9 ωـ²         9 ωـ             9 ωـ²        9 ωـ²      9 ωـ²        9

(2) أثبت أن: ( 1– ω + ωـ² )( 1 – ωـ² + ωـ⁴ )( 1– ωـ⁴ + ωـ⁸ )( 1– ωـ⁸ + ωـ¹⁶ ) = 16

الحـــل:  ωـ⁴ = ω    ،     ωـ⁸= ωـ²    ، ωـ¹⁶= ω    وبتطبيق مجموع جذرين يساوي سالب الثالث نجد أن:

          الأيمن = ( 1– ω + ωـ² )( 1 – ωـ² + ωـ )( 1– ωـ + ωـ² )( 1– ωـ² + ω )

                   = ( – ω – ω ) (ـ – ωـ² – ωـ² ) ( – ω – ω ـ) ( – ωـ² – ωـ² )

                   = 2 ωـ× 2 ωـ²×  2 ωـ× 2 ωـ²

                   = 16 ωـ⁶= 16= الأيسر